O matemático japonês Kiyoshi Ito expressou a regra da cadeia do cálculo estocástico em 1951, tornando conhecido o famoso lema que leva seu nome.
O cálculo estocástico define a contraparte do cálculo determinístico de Newton-Leibniz para funções aleatórias.
Na verdade, o cálculo estocástico de Ito é uma das ferramentas mais úteis da matemática financeira moderna, sobre a qual repousa virtualmente toda a teoria econômica e análise financeira em tempo contínuo.
O lema de Ito em finanças
Mais especificamente, na negociação de ações, o termo estocástico se refere às oscilações nos preços de fechamento. Em outras palavras, os traders usam a análise estocástica para decidir quando comprar e vender títulos.
Sua suposição é que, quando o preço de fechamento atual de uma ação está próximo do preço mínimo ou máximo anterior, o preço do dia seguinte não será drasticamente maior ou menor, respectivamente.
Dessa perspectiva, o lema de Ito é frequentemente usado para derivar o processo estocástico seguido pelo preço de um título derivativo. Por exemplo, se o ativo subjacente (o subjacente é a fonte da qual o valor do instrumento financeiro é derivado) segue o movimento geométrico browniano, o lema japonês demonstra que um título derivado - cujo preço é uma função do preço do ativo subjacente e do tempo - segue também o movimento geométrico browniano.
Movimento browniano e lema de Ito
Para uma melhor compreensão desta teoria, devemos primeiro lembrar o que é o movimento browniano: é o deslocamento aleatório (por acaso) que é observado em algumas partículas microscópicas quando estão em um meio fluido, em um líquido.
Foi o escocês Robert Brown (a quem deve seu nome), o biólogo que descobriu o fenômeno em 1827, mas sua descrição matemática foi elaborada por Albert Einstein, embora muitos anos depois, em 1905. No entanto, como resultado dessa demonstração, o O famoso Nobel Alemão abriu as portas da teoria atômica e iniciou o campo da física estatística.
Dito isso, a relação do princípio browniano com o lema de Ito é explicada como segue → Se dois valores têm a mesma fonte de risco, uma combinação apropriada dos dois valores pode eliminar esse risco; Assim, em princípio, os derivativos financeiros foram criados para limitar esses riscos.
Além disso, esse resultado levou ao desenvolvimento do modelo matemático Black-Scholes-Merton (a primeira amostra analítica completa para avaliar opções) e várias teorias e aplicações modernas de cobertura.