A regra de Laplace é um método que permite calcular rapidamente o determinante de uma matriz quadrada com dimensão 3 × 3 ou maior por meio de uma série de expansão recursiva.
Em outras palavras, a regra de Laplace fatora a matriz inicial em matrizes de dimensões inferiores e ajusta seu sinal com base na posição do elemento na matriz.
Este método pode ser executado usando linhas ou colunas.
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Fórmula da regra de Laplace
Dada uma matriz Zmxn qualquer dimensão mxn,onde m = n, ele se expande em relação à i-ésima linha, então:
- Deu jé o determinante obtido pela eliminação da i-ésima linha e da i-ésima coluna de Zmxn.
- Meu jé o i, j-th menos. O determinante Deu jem função de Meu jé chamado de i, j-th cofatorda matriz Zmxn.
- para é a configuração do sinal da posição.
Exemplo teórico da regra de Laplace
Nós definimos PARA3×3 O que:
- Vamos começar com o primeiro elemento a11. Nós ralamos as linhas e colunas que compõem11. Os elementos que ficarem sem grade, serão os primeiros determinantes menos multiplicado por um11.
2. Continuamos com o segundo elemento da primeira linha, ou seja, para12. Repetimos o processo: ralamos as linhas e colunas que contêm12.
Ajustamos o sinal do menor:
Adicionamos o segundo determinante menosao resultado anterior e formamos uma série de expansão de modo que:
3. Continuamos com o terceiro elemento da primeira linha, ou seja, para13. Repetimos o processo: ralamos a linha e a coluna que contêm13.
Adicionamos o terceiro determinante menos ao resultado anterior e estendemos a série de expansão de modo que:
Como não há mais elementos restantes na primeira linha, fechamos o processo recursivo. Nós calculamos os determinantes menores.
Da mesma forma que os elementos da primeira linha foram usados, este método também pode ser aplicado com colunas.
Exemplo prático da regra de Laplace
Nós definimos PARA3×3O que:
1. Vamos começar com o primeiro elemento r11= 5. Nós ralamos as linhas e colunas que compõem11= 5. Os elementos que ficarem sem grade, serão os primeiros determinantes menos multiplicado por um11=5.
2. Continuamos com o segundo elemento da primeira linha, ou seja, r12= 2. Repetimos o processo: ralamos as linhas e colunas que contêm r12=2.
Ajustamos o sinal do menor:
Adicionamos o segundo determinante menos ao resultado anterior e formamos uma série de expansão de modo que:
3. Continuamos com o terceiro elemento da primeira linha, ou seja, r13= 3. Repetimos o processo: ralamos a linha e a coluna que contêm r13=3.
Adicionamos o terceiro determinante menos ao resultado anterior e estendemos a série de expansão de modo que:
O determinante da matrizR3×3 é 15.
