Regra de Laplace - O que é, definição e conceito

A regra de Laplace é um método que permite calcular rapidamente o determinante de uma matriz quadrada com dimensão 3 × 3 ou maior por meio de uma série de expansão recursiva.

Em outras palavras, a regra de Laplace fatora a matriz inicial em matrizes de dimensões inferiores e ajusta seu sinal com base na posição do elemento na matriz.

Este método pode ser executado usando linhas ou colunas.

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Fórmula da regra de Laplace

Dada uma matriz Z_mxn qualquer dimensão mxn,onde m = n, ele se expande em relação à i-ésima linha, então:

• D_{eu j}é o determinante obtido pela eliminação da i-ésima linha e da i-ésima coluna de Z_mxn.

• M_{eu j}é o i, j-th menos. O determinante D_{eu j}em função de M_{eu j}é chamado de i, j-th cofatorda matriz Z_mxn.
• para é a configuração do sinal da posição.

Exemplo teórico da regra de Laplace

Nós definimos PARA_3×3 O que:

1. Vamos começar com o primeiro elemento a₁₁. Nós ralamos as linhas e colunas que compõem₁₁. Os elementos que ficarem sem grade, serão os primeiros determinantes menos multiplicado por um₁₁.

2. Continuamos com o segundo elemento da primeira linha, ou seja, para₁₂. Repetimos o processo: ralamos as linhas e colunas que contêm₁₂.

Ajustamos o sinal do menor:

Adicionamos o segundo determinante menosao resultado anterior e formamos uma série de expansão de modo que:

3. Continuamos com o terceiro elemento da primeira linha, ou seja, para₁₃. Repetimos o processo: ralamos a linha e a coluna que contêm₁₃.

Adicionamos o terceiro determinante menos ao resultado anterior e estendemos a série de expansão de modo que:

Como não há mais elementos restantes na primeira linha, fechamos o processo recursivo. Nós calculamos os determinantes menores.

Da mesma forma que os elementos da primeira linha foram usados, este método também pode ser aplicado com colunas.

Exemplo prático da regra de Laplace

Nós definimos PARA_3×3O que:

1. Vamos começar com o primeiro elemento r₁₁= 5. Nós ralamos as linhas e colunas que compõem₁₁= 5. Os elementos que ficarem sem grade, serão os primeiros determinantes menos multiplicado por um₁₁=5.

2. Continuamos com o segundo elemento da primeira linha, ou seja, r₁₂= 2. Repetimos o processo: ralamos as linhas e colunas que contêm r₁₂=2.

Ajustamos o sinal do menor:

Adicionamos o segundo determinante menos ao resultado anterior e formamos uma série de expansão de modo que:

3. Continuamos com o terceiro elemento da primeira linha, ou seja, r₁₃= 3. Repetimos o processo: ralamos a linha e a coluna que contêm r₁₃=3.

Adicionamos o terceiro determinante menos ao resultado anterior e estendemos a série de expansão de modo que:

O determinante da matrizR_3×3 é 15.