A distância entre dois pontos de dimensão R no espaço é a aplicação da raiz quadrada ao vetor formado por esses pontos ordenados.
Em outras palavras, a distância entre dois pontos no espaço é o módulo do vetor formado por esses pontos.
A distância entre dois pontos nada mais é do que o módulo do vetor formado pelos pontos dados. Uma vez calculado o módulo do vetor, já teremos a distância entre os dois pontos.
Fórmula
Dados os dois pontos a seguir:
Então, a distância entre esses dois pontos será o módulo do vetor que eles formam:
Portanto, o módulo deste vetor será a distância entre esses dois pontos:
O comprimento da raiz dependerá do número de dimensões que os pontos possuem. Se forem apenas pontos bidimensionais, haverá apenas dois termos na raiz. Por outro lado, se os pontos tiverem 6 dimensões, haverá 6 elementos na raiz.
Diz-se que os pontos devem ser ordenados porque nos vetores, como nas matrizes, a ordem dos fatores importa e é crucial para a solução correta do problema. Um vetor que vai do ponto B ao ponto C não é o mesmo que outro vetor que vai do ponto C ao ponto B.
Esquematicamente:
O que os dois vetores anteriores compartilham é a distância: tanto o vetor BC quanto o vetor CB mantêm a mesma distância entre seus pontos. Em outras palavras, eles têm o mesmo módulo.
Isso ocorre porque a diferença dos dois vetores é apenas o sinal de suas coordenadas. Uma vez que o módulo inclui fazer o quadrado das coordenadas do vetor, ele produz o mesmo efeito como se aplicássemos o valor absoluto. Na verdade, esta é a razão pela qual indicamos o módulo de um vetor com as duas retas paralelas:
Em seguida, a raiz é aplicada para remover o efeito do quadrado dos componentes e retornar às mesmas unidades.
Distância na geometria analítica e na realidade
Quando precisamos calcular distâncias em geometria analítica, podemos nos ajudar com exemplos reais. Por exemplo, se formos solicitados a calcular a distância entre dois pontos, como neste caso, podemos nos imaginar como o ponto de partida (ponto B) e um objeto como o ponto final (ponto C). Portanto, podemos medir essa distância subtraindo em valor absoluto entre um ponto e o outro. Em outras palavras mais técnicas, calcule o módulo.
Veremos que de nossa posição para o objeto e do objeto para nós haverá a mesma distância. Além disso, essa distância será sempre positiva, seja 0 ou maior. Pode ser que estejamos segurando o objeto e, portanto, essa distância seja 0, ou que o objetivo esteja longe, portanto, uma distância positiva.
Exemplo de distância entre dois pontos
Calcule a distância entre os seguintes pontos:
