A multiplicação de matrizes consiste em combinar linearmente duas ou mais matrizes adicionando seus elementos dependendo de sua localização na matriz de origem, respeitando a ordem dos fatores.
Em outras palavras, a multiplicação de duas matrizes é unificar as matrizes em uma única matriz, multiplicando e somando os elementos das linhas e colunas das matrizes de origem, levando em consideração a ordem dos fatores.
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Multiplicação da matriz
Dadas duas matrizes Z Y Y de n linhas em colunas:
Propriedades
- A dimensão da matriz de resultado é a combinação da dimensão das matrizes. Em outras palavras, a dimensão da matriz de resultado será as colunas da primeira matriz e as linhas da segunda matriz.
Neste caso, vamos descobrir que Zn (linhas de Z) é igual a Ym(colunas de Y) para poder multiplicá-los. Então, se eles forem iguais, a matriz de resultado será:
Exemplos
- Multiplicaremos as matrizes de dois por dois.
Multiplicamos as matrizes dois por dois para preservar as dimensões das matrizes originais e facilitar o processo.
- A multiplicação da matriz não é comutativa.
Esquema de propriedade comutativa
A propriedade comutativa representa aquela frase conhecida: a ordem dos fatores não altera o resultado.
Encontramos essa propriedade na adição e na multiplicação comuns, ou seja, quando adicionamos e multiplicamos qualquer objeto que não seja uma matriz.
Dado o esquema acima, a propriedade comutativa nos diz que se primeiro multiplicarmos o sol azul e depois o sol amarelo, obteremos o mesmo resultado (sol verde) como se multiplicássemos o sol amarelo primeiro e depois o sol azul.
Portanto, se a multiplicação das matrizes não respeitar a propriedade comutativa, isso implica que a ordem dos fatores sim afeta o resultado. Em outras palavras, não obteremos o sol verde se mudarmos a ordem dos sóis amarelo e azul.
Processar
Podemos multiplicar as matrizes anteriores se o número de linhas na matriz Z é igual ao número de colunas na matriz Y. Quer dizer, Zn = Ym.
Uma vez determinado que podemos multiplicar as matrizes, multiplicamos os elementos de cada linha por cada coluna e os somamos de forma que apenas um número permaneça no ponto onde coincidem as ovais azuis anteriores.
Primeiro descobrimos onde os ovais azuis coincidem e depois fazemos a soma das multiplicações dos elementos.
- Para o primeiro elemento da matriz de resultado, vemos que os ovais coincidem onde o elemento z está11.
- Para o último elemento da matriz de resultado, vemos que os ovais coincidem no elemento enm.
Exemplo teórico
Dadas duas matrizes quadradas D Y E,
Multiplique as matrizes anteriores.
Começamos multiplicando a primeira linha da matriz D com a primeira coluna da matriz E. Então fazemos o mesmo, mas mantendo a linha ou coluna de cada matriz dependendo se queremos multiplicar alguns elementos ou outros. Repetimos o procedimento até preencher todas as lacunas.
Exercício
Prove que a propriedade comutativa não é cumprida no produto das matrizes.
