Matrix Multiplication - O que é, definição e conceito

A multiplicação de matrizes consiste em combinar linearmente duas ou mais matrizes adicionando seus elementos dependendo de sua localização na matriz de origem, respeitando a ordem dos fatores.

Em outras palavras, a multiplicação de duas matrizes é unificar as matrizes em uma única matriz, multiplicando e somando os elementos das linhas e colunas das matrizes de origem, levando em consideração a ordem dos fatores.

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Multiplicação da matriz

Dadas duas matrizes Z Y Y de n linhas em colunas:

Propriedades

• A dimensão da matriz de resultado é a combinação da dimensão das matrizes. Em outras palavras, a dimensão da matriz de resultado será as colunas da primeira matriz e as linhas da segunda matriz.

Neste caso, vamos descobrir que Z_n (linhas de Z) é igual a Y_m(colunas de Y) para poder multiplicá-los. Então, se eles forem iguais, a matriz de resultado será:

Exemplos

• Multiplicaremos as matrizes de dois por dois.

Multiplicamos as matrizes dois por dois para preservar as dimensões das matrizes originais e facilitar o processo.

• A multiplicação da matriz não é comutativa.

Esquema de propriedade comutativa

A propriedade comutativa representa aquela frase conhecida: a ordem dos fatores não altera o resultado.

Encontramos essa propriedade na adição e na multiplicação comuns, ou seja, quando adicionamos e multiplicamos qualquer objeto que não seja uma matriz.

Dado o esquema acima, a propriedade comutativa nos diz que se primeiro multiplicarmos o sol azul e depois o sol amarelo, obteremos o mesmo resultado (sol verde) como se multiplicássemos o sol amarelo primeiro e depois o sol azul.

Portanto, se a multiplicação das matrizes não respeitar a propriedade comutativa, isso implica que a ordem dos fatores sim afeta o resultado. Em outras palavras, não obteremos o sol verde se mudarmos a ordem dos sóis amarelo e azul.

Processar

Podemos multiplicar as matrizes anteriores se o número de linhas na matriz Z é igual ao número de colunas na matriz Y. Quer dizer, Z_n = Y_m.

Uma vez determinado que podemos multiplicar as matrizes, multiplicamos os elementos de cada linha por cada coluna e os somamos de forma que apenas um número permaneça no ponto onde coincidem as ovais azuis anteriores.

Primeiro descobrimos onde os ovais azuis coincidem e depois fazemos a soma das multiplicações dos elementos.

• Para o primeiro elemento da matriz de resultado, vemos que os ovais coincidem onde o elemento z está₁₁.

• Para o último elemento da matriz de resultado, vemos que os ovais coincidem no elemento e_nm.

Exemplo teórico

Dadas duas matrizes quadradas D Y E,

Multiplique as matrizes anteriores.

Começamos multiplicando a primeira linha da matriz D com a primeira coluna da matriz E. Então fazemos o mesmo, mas mantendo a linha ou coluna de cada matriz dependendo se queremos multiplicar alguns elementos ou outros. Repetimos o procedimento até preencher todas as lacunas.

Exercício

Prove que a propriedade comutativa não é cumprida no produto das matrizes.