A Estimativa de Máxima Verossimilhança (AVA) e o modelo GARCH são duas ferramentas econométricas amplamente utilizadas para fazer previsões sobre o grau de dispersão de uma amostra em um determinado período de tempo por meio de uma autorregressão.
Em outras palavras, EMV e GARCH são usados juntos para encontrar a volatilidade média de médio prazo de um ativo financeiro por meio de autorregressão.
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GARCH
Fórmula do modelo GARCH (p, q):
Onde
Coeficientes
Os coeficientes do modelo GARCH (p, q) são
- A constante
junto com
eles determinam o nível médio de volatilidade no médio prazo. Restringimos a constante a valores maiores que 0, ou seja, (a + b)> 0.
- O parâmetro de erro
determina a reação da volatilidade aos choques do mercado. Portanto, se este parâmetro for maior que 0,1, indica que a volatilidade é muito sensível quando há mudanças no mercado. Restringimos o parâmetro de erro a valores maiores que 0, ou seja, a> 0.
- Parâmetro
determina por quanto a volatilidade atual está próxima da volatilidade média no médio prazo. Portanto, se este parâmetro for maior que 0,9 significa que o nível de volatilidade permanecerá após um choque de mercado.
- Nós restringimos
para ser menor que 1, ou seja, (a + b) <1.
Importante
Embora esses coeficientes sejam obtidos pelo EMV, indiretamente dependem das características da amostra. Portanto, se uma amostra for composta por retornos diários, obteremos resultados diferentes de uma amostra composta por retornos anuais.
EMV
O EMV maximiza a probabilidade dos parâmetros de qualquer função de densidade que dependa da distribuição de probabilidade e das observações na amostra.
Assim, quando queremos obter uma estimativa dos parâmetros do modelo GARCH, usamos a função logarítmica de máxima verossimilhança. No modelo GARCH, assumimos que a perturbação segue uma distribuição normal padrão com média 0 e variância:
Então, teremos que aplicar logaritmos à função densidade de uma distribuição normal e encontraremos a função de máxima verossimilhança.
Processar
- Escreva a função de densidade. Nesse caso, a partir da distribuição de probabilidade normal.
Se derivarmos a função densidade em relação aos seus parâmetros, encontramos as condições de primeira ordem (CPO):
Você encontra as fórmulas no familiar certo? Eles são a famosa média e a variância da amostra. Esses são os parâmetros da função de densidade.
- Aplicamos logaritmos naturais:
- Corrigimos a função acima:
- Para obter estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros anteriores, devemos:
Em outras palavras, para encontrar estimativas dos parâmetros GARCH com probabilidade máxima, devemos maximizar a função de máxima verossimilhança (função anterior).
Aplicativo
Sempre que quisermos encontrar a função logarítmica de máxima verossimilhança, teremos que seguir as etapas anteriores? Depende.
Se assumirmos que a frequência das observações pode ser satisfatoriamente aproximada de uma distribuição de probabilidade normal padrão, então teremos apenas que copiar a última função.
Se assumirmos que a frequência das observações pode ser satisfatoriamente aproximada da distribuição t de Student, teremos que padronizar os dados e aplicar logaritmos à função de densidade t de Student. Em conclusão, execute todas as etapas acima.