Transformação linear de matrizes
As transformações lineares de matrizes são operações lineares por meio de matrizes que modificam a dimensão inicial de um determinado vetor.
Em outras palavras, podemos modificar a dimensão de um vetor multiplicando-o por qualquer matriz.
As transformações lineares são a base dos vetores e autovalores de uma matriz, uma vez que dependem linearmente uns dos outros.
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Matematicamente
Nós definimos uma matrizC qualquer dimensão 3 × 2 multiplicada por um vetor V de dimensãon = 2 tal que V = (v1, v2).
De que dimensão terá o vetor de resultado?
O vetor resultante do produto da matrizC3×2com vetorV2×1será um novo vetor V 'de dimensão 3.
Esta mudança na dimensão do vetor é devido à transformação linear através da matriz C.
Exemplo prático
Dada a matriz quadradaR com dimensão 2 × 2 e o vetorV da dimensão 2.
Uma transformação linear da dimensão do vetorV isso é:
onde a dimensão inicial do vetor V era 2 × 1 e agora a dimensão final do vetor Você vê3 × 1. Essa mudança de dimensão é obtida multiplicando-se a matriz R.
Essas transformações lineares podem ser representadas graficamente? Bem claro!
Vamos representar o vetor de resultado V 'em um plano.
Então:
V = (2,1)
V ’= (6,4)
Graficamente
Autovetores usando representação gráfica
Como podemos determinar que um vetor é um autovetor de uma dada matriz apenas olhando para o gráfico?
Nós definimos a matrizD da dimensão 2 × 2:
Os vetores são v1= (1,0) ev2= (2,4) vetores próprios da matriz D?
Processar
1. Vamos começar com o primeiro vetor v1. Fazemos a transformação linear anterior:
Então, se o vetor v1 é o autovetor da matriz D, o vetor resultante v1'E vetor v1eles devem pertencer à mesma linha.
Nós representamos v1 = (1,0) ev1’ = (3,0).
Uma vez que ambos v1como V1'Pertencem à mesma linha, v1 é um autovetor da matriz D.
Matematicamente, há uma constanteh(autovalor) de modo que:
2. Continuamos com o segundo vetor v2. Repetimos a transformação linear anterior:
Então, se o vetor v2 é o autovetor da matriz D, o vetor resultante v2'E o vetor v2 eles devem pertencer à mesma linha (conforme o gráfico acima).
Nós representamos v2 = (2,4) ev2’ = (2,24).
Desde v2 e V2'Não pertencem à mesma linha, v2 não é um autovetor da matriz D.
Matematicamente, não há constanteh(autovalor) de modo que:
