O máximo divisor comum (GCF) é o maior número pelo qual dois ou mais números podem ser divididos. Isso, sem deixar nenhum resíduo.
Ou seja, o maior divisor comum ou GCF é o valor mais alto pelo qual um conjunto de números pode ser dividido, resultando em um número inteiro.
Um divisor pode ser definido formalmente como aquele número que está contido em outro exatamente um número n de vezes.
Deve-se notar que os números sobre os quais o GCF é calculado devem ser diferentes de zero.
Para explicar melhor, vejamos um exemplo. Suponha que temos 35 e 15. Assim, observamos quais são os divisores de cada um:
- Divisores de 35 → 35,7,5,1
- Divisores de 15 → 15,5,3,1
Portanto, o maior fator comum de 35 e 15 é 5.
Vale a pena mencionar que se os divisores comuns de dois números são apenas 1 e -1, eles são chamados de "primos entre si".
Métodos para calcular o maior divisor comum
Podemos distinguir os três métodos a seguir para calcular o maior divisor comum:
- Decomposição do fator principal: Os números são decompostos em números primos. Então, para calcular o GCF, tomamos os números comuns elevados à menor potência. Por exemplo, suponha que temos 216 e 156:
216/2=108
108/2=54
54/2=27
27/3=9
9/3=3
3/3=1
216=(3^3)*(2^3)
156/2=78
78/2=39
39/3=13
13/13=1
156=13*3*(2^2)
Portanto, o maior divisor comum entre os dois números seria: (2 2) * 3 = 12
Agora, suponha que temos três elementos: 315, 441 e 819
315= (3^2)*7*5
441= (3^2)*(7^2)
819= (3^2)*7*13
Então, após desagregá-los, tomando cada divisor com sua menor potência, o resultado seria:
GCF = (3 2) * 7 = 63
- Algoritmo de Euclides: Ao dividir para Entre b, um quociente é obtido c e um r. Então, o maior divisor comum de para Y b é o mesmo que b Y r. Isso, dado o seguinte: a = bc + r. Para entender melhor, vamos aplicar este método ao exemplo mostrado anteriormente com 216 e 156.
216/156 = 1 com o restante de 60
agora dividimos 156/60 = 2 com o restante 36
Dividimos novamente 60/36 = 1 com o resto 24
Mais uma vez, dividimos 36/24 = 1 com o restante 12
E finalmente dividimos 24/12 = 2 com o resto 0
Portanto, o maior divisor comum é 12. Como podemos ver, devemos dividir até que o resto seja 0 e o último divisor seja o GCF.
- Com base no mínimo múltiplo comum: Os números são multiplicados e o resultado dividido pelo seu mínimo múltiplo comum (LCM).
Devemos lembrar que o mínimo múltiplo comum (MMC) é a menor figura que satisfaz a condição de ser múltiplo de todos os elementos de um conjunto de números.
Ou seja, voltando ao mesmo exemplo, podemos decompor da seguinte forma:
216 = (3 3) * (2 3) e 156 = 13 * 3 * (2 2) 204 = 3 * (2 2) * 17 168 = 3 * (2 3) * 7
O mínimo múltiplo comum seria: (3 3) * (2 3) * 13 * 17 * 7 = 334,152
Portanto: GCD = 216 * 156 / 2,808 = 12
Vale ressaltar que este método funciona apenas para dois números.