O teorema de Bayes é usado para calcular a probabilidade de um evento, tendo-se informações antecipadas sobre esse evento.
Podemos calcular a probabilidade de um evento A, sabendo também que aquele A cumpre uma certa característica que determina sua probabilidade. O teorema de Bayes entende a probabilidade inversamente ao teorema da probabilidade total. O teorema da probabilidade total infere sobre um evento B, a partir dos resultados dos eventos A. Por sua vez, Bayes calcula a probabilidade de A condicional em B.
O teorema de Bayes foi amplamente questionado. O que se deve principalmente à sua má aplicação. Visto que, desde que as suposições de eventos disjuntos e exaustivos sejam atendidas, o teorema é totalmente válido.
Fórmula do teorema de Bayes
Para calcular a probabilidade definida por Bayes neste tipo de evento, precisamos de uma fórmula. A fórmula é definida matematicamente como:
Onde B é o evento sobre o qual temos informações anteriores e A (n) são os diferentes eventos condicionados. Na parte do numerador temos a probabilidade condicional e na parte inferior a probabilidade total. Em todo caso, embora a fórmula pareça um pouco abstrata, é muito simples. Para demonstrar isso, usaremos um exemplo onde, em vez de A (1), A (2) e A (3), usaremos diretamente A, B e C.
Exemplo de teorema de Bayes
Uma empresa possui uma fábrica nos Estados Unidos que possui três máquinas, A, B e C, que produzem embalagens para garrafas de água. A Máquina A é conhecida por produzir 40% da quantidade total, a Máquina B 30% e a Máquina C 30%. Cada máquina também é conhecida por produzir embalagens defeituosas. Desta forma, a máquina A produz 2% das embalagens defeituosas de sua produção total, a máquina B 3% e a máquina C 5%. Dito isso, surgem duas questões:
P (A) = 0,40 P (D / A) = 0,02
P (B) = 0,30 P (D / B) = 0,03
P (C) = 0,30 P (D / C) = 0,05
1. Se um contêiner foi fabricado pela fábrica dessa empresa nos Estados Unidos, qual a probabilidade de ele estar com defeito?
A probabilidade total é calculada. Uma vez que, a partir dos diferentes eventos, calculamos a probabilidade de que seja defeituoso.
P (D) = (P (A) x P (D / A)) + (P (B) x P (D / B)) + (P (C) x P (D / C)) = (0, 4 x 0,02) + (0,3 x 0,03) + (0,3 x 0,05) = 0,032
Expresso em porcentagem, diríamos que a probabilidade de um contêiner fabricado pela fábrica dessa empresa nos Estados Unidos apresentar defeito é de 3,2%.
2. Continuando com a pergunta anterior, se um container for adquirido e estiver com defeito, qual a probabilidade de ele ter sido fabricado pela máquina A? E pela máquina B? E pela máquina C?
O teorema de Bayes é usado aqui. Temos informações prévias, ou seja, sabemos que a embalagem está com defeito. Claro, sabendo que ele está com defeito, queremos saber qual é a probabilidade de ele ter sido produzido por uma das máquinas.
P (A / D) = (P (A) x P (D / A)) / P (D) = (0,40 x 0,02) / 0,032 = 0,25
P (B / D) = (P (B) x P (D / B)) / P (D) = (0,30 x 0,03) / 0,032 = 0,28
P (C / D) = (P (C) x P (D / C)) / P (D) = (0,30 x 0,05) / 0,032 = 0,47
Sabendo que um recipiente está com defeito, a probabilidade de que tenha sido produzido pela máquina A é de 25%, de que tenha sido produzido pela máquina B é de 28% e de que tenha sido produzido pela máquina C é de 47%.