Teorema do Limite Central (TCL)

O Teorema do Limite Central (TCL) é uma teoria estatística que afirma que, dada uma amostra aleatória suficientemente grande da população, a distribuição das médias da amostra seguirá uma distribuição normal.

Além disso, o TCL afirma que à medida que o tamanho da amostra aumenta, a média da amostra se aproxima da média da população. Portanto, por meio do TCL podemos definir a distribuição da média amostral de uma determinada população com uma variância conhecida. Portanto, a distribuição seguirá uma distribuição normal se o tamanho da amostra for grande o suficiente.

Propriedades principais do teorema do limite central

O teorema do limite central possui uma série de propriedades muito úteis no campo estatístico e probabilístico. Os principais são:

• Se o tamanho da amostra for grande o suficiente, a distribuição das médias da amostra seguirá aproximadamente uma distribuição normal. O TCL considera uma amostra grande quando seu tamanho é maior que 30. Portanto, se a amostra for maior que 30, a média amostral terá uma função de distribuição próxima ao normal. E isso é verdade independentemente da forma de distribuição com a qual estamos trabalhando.
• A média da população e a média da amostra serão iguais. Ou seja, a média da distribuição de todas as médias da amostra será igual à média da população total.
• A variância da distribuição das médias da amostra será σ² / n. Qual é a variância da população dividida pelo tamanho da amostra.

Que a distribuição das médias da amostra se assemelhe a uma normal é tremendamente útil. Porque a distribuição normal é muito fácil de aplicar para a realização de testes de hipóteses e construção de intervalos de confiança. Em estatística, que uma distribuição é normal é bastante importante, uma vez que muitas estatísticas requerem este tipo de distribuição. Além disso, o TCL nos permitirá fazer inferências sobre a média da população por meio da média da amostra. E isso é muito útil quando, por falta de meios, não podemos coletar dados de uma população inteira.

Exemplo do teorema do limite central

Vamos imaginar que queremos analisar os retornos médios históricos do índice S&P 500, que como sabemos, tem cerca de 500 empresas dentro dele. Mas não temos informações suficientes para analisar todas as 500 empresas do índice. Nesse caso, a lucratividade média do S&P 500 seria a média da população.

Agora, seguindo o TCL, podemos pegar uma amostra dessas 500 empresas para fazer a análise. A única limitação que temos é que na amostra deve haver mais de 30 empresas para que o teorema seja cumprido. Portanto, vamos imaginar que escolhemos aleatoriamente 50 empresas do índice e repetimos o processo várias vezes. As etapas a seguir no exemplo seriam as seguintes:

• Escolhemos a amostra de cerca de 50 empresas e obtemos a rentabilidade média de toda a amostra.
• Escolhemos continuamente 50 empresas e obtemos a rentabilidade média.
• A distribuição de todos os retornos médios de todas as amostras escolhidas se aproximará de uma distribuição normal.
• Os retornos médios de todas as amostras selecionadas se aproximarão dos retornos médios do índice total. Conforme mostrado pelo Teorema do Limite Central.

Portanto, por inferência a partir do retorno médio da amostra, podemos nos aproximar do retorno médio do índice.