A diferença entre côncavo e convexo pode ser explicada da seguinte forma → O termo convexo refere-se ao fato de que uma superfície tem uma curvatura para dentro, enquanto se fosse côncava a curvatura seria para fora.
Assim, podemos descrevê-lo de outra maneira. A parte central de uma superfície convexa é mais deprimida ou deprimida. Por outro lado, se fosse côncava, essa parte central teria um destaque.
Para entender melhor, podemos citar alguns exemplos. Primeiro, o caso clássico de uma esfera, cuja superfície é convexa. Porém, se o cortássemos em dois e mantivéssemos a metade inferior, teríamos um objeto convexo, com uma curvatura (supondo que o interior da esfera esteja vazio).
Outro exemplo de côncavo seria uma montanha, pois é um destaque em relação à superfície terrestre. Pelo contrário, um poço é côncavo, pois entrar nele implica afundar, abaixo do nível da superfície terrestre.
Deve-se notar também que para definir um objeto como côncava ou convexa, a perspectiva também deve ser levada em consideração. Assim, um prato de sopa, por exemplo, quando está pronto para servir, é convexo, tem uma curvatura. No entanto, se virarmos, o prato ficará côncavo.
Se analisarmos as parábolas, por exemplo, elas são convexas se tiverem a forma de U, mas côncavas se tiverem a forma de U invertido.
Funções côncavas e convexas
Se a segunda derivada de uma função é menor que zero em um ponto, a função é côncava naquele ponto. Por outro lado, se for maior que zero, é convexo nesse ponto. O acima pode ser expresso da seguinte forma:
Se f »(x) <0, f (x), é côncavo.
Se f »(x)> 0, f (x) é convexo.
Por exemplo, na equação f (x) = x2+ 5x-6, podemos calcular sua primeira derivada:
f '(x) = 2x + 5
Então encontramos a segunda derivada:
f »(x) = 2
Portanto, como f »(x) é maior que 0, a função é convexa para cada valor de x, como vemos no gráfico abaixo:
Agora, vamos ver o caso desta outra função: f (x) = - 4x2+ 7x + 9.
f '(x) = - 8x + 7
f »(x) = - 8
Portanto, como a segunda derivada é menor que 0, a função é côncava para cada valor de x.
Mas agora vamos dar uma olhada na seguinte equação: -5 x3+ 7x2+5 x-4
f '(x) = - 15x2+ 14x + 5
f »(x) = - 30x + 14
Definimos a segunda derivada igual a zero:
-30x + 14 = 0
x = 0,4667
Então, quando x é maior que 0,4667, f »(x) é maior que zero, então a função é convexa. Enquanto se x for menor que 0,4667, a função é côncava, como vemos no gráfico abaixo:
Polígono convexo e côncavo
Um polígono convexo é aquele em que dois de seus pontos podem ser unidos, desenhando uma linha reta que permanece dentro da figura. Da mesma forma, seus ângulos internos são todos menores que 180º.
Por outro lado, um polígono côncavo é aquele em que, para unir dois de seus pontos, deve-se traçar uma linha reta que está fora da figura, sendo esta uma diagonal externa que une dois vértices. Além disso, pelo menos um de seus ângulos internos é maior que 180º.
Podemos ver uma comparação na imagem abaixo:
