A série Taylor é uma série de poderes que se estendem ao infinito, onde cada um dos adendos é elevado a um poder maior do que o anterior.
Cada elemento da série de Taylor corresponde à enésima derivada da função f avaliada no ponto a, entre o fatorial de n (n!), E tudo isso, multiplicado por x-a elevado à potência n.
Em termos formais ou matemáticos, a série de Taylor tem a seguinte forma:
Para melhor compreender a série de Taylor, devemos ter em mente que a é um ponto em uma reta tangente à função f. A referida linha pode, por sua vez, ser expressa como uma função linear cuja inclinação é a mesma que a função f no ponto a.
Outro aspecto a ter em mente é que f é uma função diferenciável n vezes no ponto a. Se n for infinito, é uma função infinitamente diferenciável.
Em um caso particular, quando a = 0, a série também é chamada de série de McLaurin.
Diferença entre série e polinômio de Taylor
A diferença entre as séries e o polinômio de Taylor é que, no primeiro caso, falamos de uma seqüência infinita, enquanto no segundo é uma série finita.
Assim, o polinômio de Taylor pode ser definido como uma aproximação polinomial de uma função n vezes diferenciável em um ponto específico (a).
Exemplos de séries de Taylor
Alguns exemplos de variações da série Taylor são:
- Função exponencial:
- Funções trigonométricas:
Aplicações da série Taylor
Algumas aplicações da série Taylor são:
- Análise de limites.
- Análise de pontos estacionários ou pontos de cadeira em funções.
- Aplicação no teorema de L'Hopital (para resolver limites).
- Estimativa integral.
- Estimativa de convergências e divergências de certas séries.
- Análise de ativos e produtos financeiros, quando o preço é expresso em função não linear.
