Taylor Series - O que é, definição e conceito

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Anonim

A série Taylor é uma série de poderes que se estendem ao infinito, onde cada um dos adendos é elevado a um poder maior do que o anterior.

Cada elemento da série de Taylor corresponde à enésima derivada da função f avaliada no ponto a, entre o fatorial de n (n!), E tudo isso, multiplicado por x-a elevado à potência n.

Em termos formais ou matemáticos, a série de Taylor tem a seguinte forma:

Para melhor compreender a série de Taylor, devemos ter em mente que a é um ponto em uma reta tangente à função f. A referida linha pode, por sua vez, ser expressa como uma função linear cuja inclinação é a mesma que a função f no ponto a.

Outro aspecto a ter em mente é que f é uma função diferenciável n vezes no ponto a. Se n for infinito, é uma função infinitamente diferenciável.

Em um caso particular, quando a = 0, a série também é chamada de série de McLaurin.

Diferença entre série e polinômio de Taylor

A diferença entre as séries e o polinômio de Taylor é que, no primeiro caso, falamos de uma seqüência infinita, enquanto no segundo é uma série finita.

Assim, o polinômio de Taylor pode ser definido como uma aproximação polinomial de uma função n vezes diferenciável em um ponto específico (a).

Exemplos de séries de Taylor

Alguns exemplos de variações da série Taylor são:

  • Função exponencial:
  • Funções trigonométricas:

Aplicações da série Taylor

Algumas aplicações da série Taylor são:

  • Análise de limites.
  • Análise de pontos estacionários ou pontos de cadeira em funções.
  • Aplicação no teorema de L'Hopital (para resolver limites).
  • Estimativa integral.
  • Estimativa de convergências e divergências de certas séries.
  • Análise de ativos e produtos financeiros, quando o preço é expresso em função não linear.