Equações funcionais - O que são, definição e conceito

Equações funcionais são aquelas que possuem outra função como desconhecida. Uma função que pode ser vinculada a uma operação algébrica, como adição, subtração, divisão, multiplicação, potência ou raiz.

As equações funcionais também podem ser definidas como aquelas que não são facilmente redutíveis a uma função algébrica, do tipo f (x) = 0, para sua resolução.

As equações funcionais são caracterizadas porque não existe uma maneira única de resolvê-las. Além disso, a variável em questão pode assumir valores diferentes (veremos com exemplos).

Exemplos de equações funcionais

Alguns exemplos de equações funcionais são:

f (xy) = f (x). f (y)

f (x²+ e²) = f (xy)²/2

f (x) = f (x + 3) / x

Em casos como os anteriores, pode-se acrescentar, por exemplo, que x pertence ao conjunto de números reais, ou seja, x ∈ R (pode-se excluir zero).

Exemplos de equações funcionais

Vamos ver alguns exemplos de equações funcionais resolvidas:

f (1 / 2x) = x-3f (x)

Portanto, se eu substituir x por 1 / 2x:

f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)

f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)

f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))

f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)

8f (x) = 3x- (1 / 2x)

f (x) = (3/8) x- (1 / 16x)

Agora, vamos ver outro exemplo com um pouco mais de dificuldade, mas onde procederemos de maneira semelhante:

x²f (x) -f (5-x) = 3x … (1)

Neste caso, primeiro resolvemos para f (5-x)

f (5-x) = x²f (x) -3x … (2)

Agora, eu substituo x por 5-x na Equação 1:

(5-x)²f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)

(25-10x + x²) .f (5-x) -f (x) = 15-3x

Lembramos que f (5-x) está na equação 2:

(25-10x + x²). (x²f (x) -3x) -f (x) = 15-3x

25x²-75x-10x³f (x) + 30x²+ x⁴f (x) -3x³-f (x) = 15-3x

f (x) (x⁴-10x³-1) = 3x³-55x²+ 72x

f (x) = (3x³-55x²+ 72x) / (x⁴-10x³-1)

Equação funcional de Cauchy

A função funcional de Cauchy é uma das mais básicas de seu tipo. Esta equação tem a seguinte forma:

f (x + y) = f (x) + f (y)

Assumindo que xey estão no conjunto dos números racionais, a solução dessa equação nos diz que f (x) = cx, onde c é qualquer constante, e o mesmo acontece com f (y).