Equações funcionais são aquelas que possuem outra função como desconhecida. Uma função que pode ser vinculada a uma operação algébrica, como adição, subtração, divisão, multiplicação, potência ou raiz.
As equações funcionais também podem ser definidas como aquelas que não são facilmente redutíveis a uma função algébrica, do tipo f (x) = 0, para sua resolução.
As equações funcionais são caracterizadas porque não existe uma maneira única de resolvê-las. Além disso, a variável em questão pode assumir valores diferentes (veremos com exemplos).
Exemplos de equações funcionais
Alguns exemplos de equações funcionais são:
f (xy) = f (x). f (y)
f (x2+ e2) = f (xy)2/2
f (x) = f (x + 3) / x
Em casos como os anteriores, pode-se acrescentar, por exemplo, que x pertence ao conjunto de números reais, ou seja, x ∈ R (pode-se excluir zero).
Exemplos de equações funcionais
Vamos ver alguns exemplos de equações funcionais resolvidas:
f (1 / 2x) = x-3f (x)
Portanto, se eu substituir x por 1 / 2x:
f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))
f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)
8f (x) = 3x- (1 / 2x)
f (x) = (3/8) x- (1 / 16x)
Agora, vamos ver outro exemplo com um pouco mais de dificuldade, mas onde procederemos de maneira semelhante:
x2f (x) -f (5-x) = 3x … (1)
Neste caso, primeiro resolvemos para f (5-x)
f (5-x) = x2f (x) -3x … (2)
Agora, eu substituo x por 5-x na Equação 1:
(5-x)2f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)
(25-10x + x2) .f (5-x) -f (x) = 15-3x
Lembramos que f (5-x) está na equação 2:
(25-10x + x2). (x2f (x) -3x) -f (x) = 15-3x
25x2-75x-10x3f (x) + 30x2+ x4f (x) -3x3-f (x) = 15-3x
f (x) (x4-10x3-1) = 3x3-55x2+ 72x
f (x) = (3x3-55x2+ 72x) / (x4-10x3-1)
Equação funcional de Cauchy
A função funcional de Cauchy é uma das mais básicas de seu tipo. Esta equação tem a seguinte forma:
f (x + y) = f (x) + f (y)
Assumindo que xey estão no conjunto dos números racionais, a solução dessa equação nos diz que f (x) = cx, onde c é qualquer constante, e o mesmo acontece com f (y).