O SA mede a medida de dispersão da ordem 3 daquelas observações que são inferiores ao valor esperado da variável. O SC é a medida de dispersão da ordem 4 daquelas observações que são inferiores ao valor esperado da variável.
Ou seja, tanto o SA quanto o SC buscam os piores casos (situações em que as observações estão abaixo da média) e podemos construir indicadores de risco, do inglês, métricas de risco de desvantagem.
Se aplicarmos SA e SC aos preços de ações, os retornos abaixo do valor esperado são considerados negativos e os retornos acima do valor esperado são considerados positivos para o nosso investimento. Estamos mais interessados em controlar os retornos negativos, pois eles prejudicam nossos lucros.
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Matematicamente, definimos a variável Z como uma variável aleatória discreta formada por Z1, …, ZN observações. Onde E (Z) é o valor esperado (valor médio) da variável Z.
Semi-assimetria (SA)
O SA identifica a assimetria das observações que estão abaixo do valor médio.
Podemos definir SA de duas maneiras diferentes:
- Função MAX:
- Função MIN:
Podemos calcular SA usando dados históricos da seguinte forma:
Semicurtose (SC)
O SC identifica a variância da variável Z que vem dos valores extremos que estão abaixo do valor médio.
Podemos definir o SC de duas maneiras diferentes:
- Função MAX:
- Função MIN:
Podemos calcular SD usando dados históricos da seguinte forma:
Normalmente todos os termos da fórmula são expressos em termos anuais. Se os dados forem expressos em outros termos, teremos que anualizar os resultados.
Interpretação
Definimos D como:
- MIN: procuramos o mínimo entre D e 0.
Se D <0, o resultado é D4.
Se D> 0, o resultado é 0.
- MAX: procuramos o máximo entre D e 0.
Se D> 0, o resultado é D4.
- Se D <0, o resultado é 0.
Exemplo de semi-assimetria e semi-curtose
Supomos que queiramos realizar um estudo sobre o grau de dispersão do preço de AlpineSki por 18 meses (um ano e meio). Especificamente, queremos encontrar a dispersão das observações que estão abaixo de seu valor médio.
| min (Zt - Z ’, 0) |3
Processar
0. Baixamos as cotações e calculamos os retornos contínuos.
| Meses | Devoluções | | min (Zt - Z ’, 0) |3 | | min (Zt - Z ’, 0) |4 |
| Jan-17 | 7,00% | 0,00% | 0,00% |
| Fev-17 | 9,00% | 0,00% | 0,00% |
| Mar-17 | 7,00% | 0,00% | 0,00% |
| Abr-17 | 9,00% | 0,00% | 0,00% |
| Maio-17 | 7,00% | 0,00% | 0,00% |
| Jun-17 | -6,00% | 0,0787% | 0,00727% |
| Jul-17 | -2,00% | 0,0143% | 0,00075% |
| Ago-17 | -9,00% | 0,1831% | 0,02240% |
| Set-17 | 0,20% | 0,0028% | 0,00008% |
| Out-17 | 1,50% | 0,00% | 0,00% |
| Nov-17 | 2,00% | 0,00% | 0,00% |
| Dez-17 | 6,00% | 0,00% | 0,00% |
| Jan-18 | 9,00% | 0,00% | 0,00% |
| Fev-18 | 9,00% | 0,00% | 0,00% |
| Mar-18 | 7,00% | 0,00% | 0,00% |
| Abr-18 | 9,00% | 0,00% | 0,00% |
| Maio-18 | -1,50% | 0,0106% | 0,00050% |
| Jun-18 | -6,00% | 0,0787% | 0,00727% |
| Metade | 3,23% | 3,23% | |
| Soma | 0,37% | 0,03828% | |
| SA12 | 0,13498 | - | |
| SC 12 | - | 0,12639 |
1. Calculamos:
Resultado
A semi-assimetria anualizada (SA) é 0,134. Em outras palavras, a assimetria das observações que estão abaixo do valor médio é de 0,134.
A semicurtose anualizada (SC) é 0,126. Em outras palavras, a variância da variável Z que vem dos valores extremos que estão abaixo do valor médio é 0,126.